B18 - Логические выражения и множества

1. На числовой прямой даны два отрезка:
  P = [5,10] и Q = [15,18].
Выберите такой отрезок A, что формула
  ((x∈А) → (x∈P)) ∨ (x∈Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
[3, 11]
[6, 10]
[8, 16]
[17, 23]
2. На числовой прямой даны два отрезка:
  P=[5,15] и Q=[10,20].
Выберите такой отрезок A, что формула
  (x∈P) ∧ (x∉Q) ∧ (x∈A)
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.
[0, 7]
[8, 15]
[15, 20]
[7, 20]
3. На числовой прямой даны три отрезка:
  P=[15,30], Q=[5,10] и R=[20,25].
Выберите такой отрезок A, что формула
  ((x∈P) → (x∈Q)) ∧ ((x∉A) → (x∈R))
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.
[0, 20]
[0, 10]
[10, 15]
[25, 30]
4. Элементами множества A являются натуральные числа. Известно, что выражение
   ¬(x ∈ A) →¬((x ∈ {1,2,4,8}) ∨ (x ∈ {1,2,3,4,5,6})) 
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.
Ответ: 
5. На числовой прямой даны два отрезка: P=[12;26] и Q=[30;53]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула
   ((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∨ (x ∈ Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Ответ: 
6. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение "натуральное число n делится без остатка на натуральное число m". Для какого наибольшего натурального числа А формула
  (¬ДЕЛ(x,А) ∧ ДЕЛ(x,6)) → ¬ДЕЛ(x,3)
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?
Ответ: 
7. Обозначим через ДЕЛ(n,m) утверждение "натуральное число n делится без остатка на натуральное число m". Для какого наименьшего натурального числа А формула
  ¬ДЕЛ(x,18) → (¬ДЕЛ(x,21) → ¬ДЕЛ(x,A))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?
Ответ: 
8. Обозначим через ДЕЛ(n,m) утверждение "натуральное число n делится без остатка на натуральное число m". Для какого наименьшего натурального числа А формула
  (ДЕЛ(x,А) ∧ ¬ДЕЛ(x,15)) → (ДЕЛ(x,18) ∨ ДЕЛ(x,15))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?
Ответ: 
9. Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое "И" между соответствующими битами двоичной записи). Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение
  (X & 56 ≠ 0) → ((X & 48 = 0) → (X & A ≠ 0))
тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X).
Ответ: 
10. Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое "И" между соответствующими битами двоичной записи). Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение
  (X & 76 ≠ 0) → ((X & 10 = 0) → (X & A ≠ 0))
тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X).
Ответ: