22 - Множества и логика

1. На числовой прямой даны два отрезка:
  P=[12,20] и Q=[5,15].
Укажите наибольшую длину отрезка A, такого что формула

  ((x∈Q) → (x∈P)) ∧ (x∈A)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

2. На числовой прямой даны два отрезка: P=[5;30] и Q=[14;23]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

   ((x ∈ P) ≡ (x ∈ Q)) → ¬(x ∈ A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

3. На числовой прямой даны два отрезка: P=[3;15] и Q=[14;25]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

  ((x ∈ P) ≡ (x ∈ Q)) → ¬(x ∈ A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

4. Элементами множества A являются натуральные числа. Известно, что выражение

   ((x ∈ {1,3,5,7,9,12}) → (x ∈ {3,6,9,12})) ∨ (x ∈ A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

5. Элементами множества A являются натуральные числа. Известно, что выражение

   ¬(x ∈ {1,2,4,8,16}) ∧ ¬(x ∈ {3,4,9,16}) ∨ (x ∈ A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

6. Элементами множества A являются натуральные числа. Известно, что выражение
   ¬(x ∈ {2,4,8,12,16}) ∧ ¬(x ∈ {3,6,7,15}) ∨
¬(x ∈ {3,6,7,15}) ∨ (x ∈ A)
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

7. Элементами множества A являются натуральные числа. Известно, что выражение

   ¬(x ∈ A) → (¬(x ∈ {1,2,3,4,5,6}) ∧ (x ∈ {3,5,15}))
      ∨ ¬(x ∈ {3,5,15}) 

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

8. Элементами множества A являются натуральные числа. Известно, что выражение

   ¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ {1,3,7}) ∨ 
        (¬(x ∈ {1,2,4,5,6}) ∧ (x ∈ {1,3,7})) 

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

9. Элементами множества A являются натуральные числа. Известно, что выражение

   ¬(x ∈ A) → (¬(x ∈ {1,12}) ∧ ¬(x ∈ {12,13,14,15,16})) 

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

10. Сколько существует целых значений А, при которых формула

  ((x ≤ 10) → (x⋅x ≤ A)) ∧ ((y⋅y < A) → (y < 12))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?