Пример Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
а) добавить в кучу один камень;
б) увеличить количество камней в куче в два раза;
в) увеличить количество камней в куче в три раза.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 36. Если при этом в куче оказалось не более 60 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 35.
Задание 1.
а) При каких значениях числа S Петя может выиграть в один ход? Укажите все такие значения и соответствующие ходы Пети.
б) У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 31, 32, 33, 34? Опишите выигрышные стратегии для этих случаев.
Задание 2. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 11? Опишите соответствующие выигрышные стратегии.
Задание 3. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 10? Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах – количество камней в позиции.