B18 - Логические выражения и множества

1. На числовой прямой даны два отрезка:
  P=[12,20] и Q=[5,15].
Укажите наибольшую длину отрезка A, такого что формула

  ((x∈Q) → (x∈P)) ∧ (x∈A)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

2. На числовой прямой даны два отрезка: P=[5;30] и Q=[14;24]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

   ((x ∈ P) ≡ (x ∈ Q)) → ¬(x ∈ A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

3. На числовой прямой даны два отрезка: P =[25,37] и Q=[32,47]. Отрезок A таков, что формула

 ((x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ P)) → (¬(x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) 

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

4. На числовой прямой даны два отрезка: P=[25,37] и Q=[32,50]. Отрезок A таков, что формула

 ((x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ Q)) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) 

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

5. Элементами множества A являются натуральные числа. Известно, что выражение

   ((x ∈ {3,5,7,11,12}) → ¬(x ∈ {5,6,12,15})) ∨ (x ∈ A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

6. Элементами множества A являются натуральные числа. Известно, что выражение

   ¬(x ∈ A) → (¬(x ∈ {1,2,3,4,5,6}) ∧ (x ∈ {3,5,15}))
      ∨ ¬(x ∈ {3,5,15}) 

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

7. Сколько существует целых значений А, при которых формула

  ((x ≤ 10) → (x⋅x ≤ A)) ∧ ((y⋅y ≤ A) → (y < 15))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

8. Обозначим через ДЕЛ(n,m) утверждение "натуральное число n делится без остатка на натуральное число m". Для какого наибольшего натурального числа А формула

  ДЕЛ(x,18) → (ДЕЛ(x,54) → ДЕЛ(x, A))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

9. Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое "И" между соответствующими битами двоичной записи). Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

  (X & A ≠ 0) → ((X & 30 = 0) → (X & 20 ≠ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

10. Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое "И" между соответствующими битами двоичной записи). Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

  (X & A ≠ 0) → ((X & 44 = 0) → (X & 76 ≠ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?